\subsection{函数的单调性}

我们在研究一次函数、二次函数和幂函数时，根据函数的图象研究了函数在某个区间上增大或减小的性质。

一般地，对于给定区间上的函数$f(x)$：

1. 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 $x_1$，$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) < f(x_2)$，
那么就说 $f(x)$ 在这个区间上是\textbf{增函数}（图\ref{fig:1-18}（1））；

2. 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 $x_1$，$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) > f(x_2)$，
那么就说 $f(x)$ 在这个区间上是\textbf{减函数}（图\ref{fig:1-18}（2））。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}{7cm}
    \centering
    \input{pic/1-18-1}
    \caption*{（1）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{7cm}
    \centering
    \input{pic/1-18-2}
    \caption*{（2）}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:1-18}
\end{figure}

如果函数 $y = f(x)$ 在某个区间上是增函数或减函数，就说 $f(x)$ 在这一区间上具有（严格的）\textbf{单调性}，
这一区间叫做 $f(x)$ 的\textbf{单调区间}。

\liti 图\ref{fig:1-19} 是定义在闭区间 $[-5, 5]$ 上的函数 $f(x)$ 的图象。
根据图象说出 $f(x)$ 的单调区间，以及在每一单调区间上 $f(x)$ 是增函数还是减函数。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{pic/1-19}
    \caption{}\label{fig:1-19}
\end{figure}

\jie 函数 $f(x)$ 的单调区间有 $[-5,-2]$，$[-2,1]$，$[1,3]$，$[3,5]$。
其中，$f(x)$ 在区间 $[-5,-2]$，$[1,3]$ 上是减函数，在区间 $[-2,1]$，$[3,5]$ 上是增函数。

\liti 证明函数 $f(x) = 3x + 2$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是增函数。

\zhengming 设 $x_1$，$x_2$ 是任意两个实数，且 $x_1 < x_2$，则

\begin{minipage}{10cm}
\begin{align*}
    & f(x_1) = 3x_1 + 2, \qquad f(x_2) = 3x_2 + 2 \text{。} \\
    & f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 + 2) - (3x_1 + 2) = 3(x_2 - x_1) \text{。} \\
    \because \quad & x_2 > x_1, \qquad x_2 - x_1 > 0, \\
    \therefore \quad & f(x_2) - f(x_1) > 0, \qquad f(x_2) > f(x_1) \text{。}
\end{align*}
\end{minipage}

所以 $f(x) = 3x + 2$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是增函数。

\vspace{0.5em}
\liti 证明函数 $f(x) = \dfrac 1 x$ 在 $(0, +\infty)$ 上是减函数。
\vspace{0.5em}

\zhengming  设 $x_1 > 0$，$x_2 > 0$，且 $x_1 < x_2$，则

\begin{minipage}{10cm}
    \begin{align*}
        & f(x_1) = \dfrac 1 {x_1}, \qquad f(x_2) = \dfrac 1 {x_2} \text{。} \\
        & f(x_2) - f(x_1) = \dfrac 1 {x_2} - \dfrac 1 {x_1} = \dfrac {x_1 - x_2} {x_1x_2} \text{。}
    \end{align*}
\end{minipage}

由 $x_1 > 0$，$x_2 > 0$，得 $x_1x_2 > 0$；又由 $x_1 < x_2$，得 $x_1 - x_2 < 0$。于是
$$ f(x_2) - f(x_1) < 0, \qquad f(x_2) < f(x_1) \text{。}$$

所以 $f(x) = \dfrac 1 x$ 在 $(0, +\infty)$ 上是减函数。

\lianxi

\begin{xiaotis}

\xiaoti{如图，已知函数 $f(x)$, $g(x)$ 的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，
以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}{7cm}
    \centering
    \input{pic/lx-1-6-1}
    \caption*{（1）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{pic/lx-1-6-2}
    \caption*{（2）}
    \end{minipage}
    \caption*{（第1题）}
\end{figure}

\xiaoti{证明函数 $f(x) = -2x + 1$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是减函数。}

\vspace{0.5em}
\xiaoti{证明函数 $f(x) = \dfrac 3 x$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数。}
\vspace{0.5em}

\xiaoti{证明函数 $f(x) = x^2 + 1$ 在 $(0, +\infty)$ 上是增函数。}

\end{xiaotis}
